Важнейшим моментом обучения является совместное нахождение учителем и учащимися той исходной абстракции (или, иначе, построение ими того исходного преобразования), с помощью которого открывается подлежащая изучению область действительности.

При обучении математике исходной абстракцией является понятие «величина». «При построении курса математики, - пишет В.В. Давыдов - мы исходили из того, что в настоящее время конечной целью всего этого школьного учебного предмета... является создание у учащихся развернутой и полноценной концепции действительного числа (курсив автора), в основе которого лежит понятие о величине (курсив автора). Числа (натуральные и действительные) являются частным видом этого более общего математического объекта» [1; 385].

В математике существует несколько способов аксиоматического введения величины. Как исходное математическое отношение, существующее до числа, величину вводят В.Ф. Каган и A.Н. Колмогоров. По аксиоматике B.Ф. Кагана, величина вводится как скалярная величина, т.е. как отношение, базирующееся на отношениях порядка (равно, больше, меньше). Любые объекты, которые можно упорядочить как равные, большие или меньшие, являются, по В.Ф. Кагану, величинами [4].

Аксиоматика А.Н. Колмогорова более пространна. В ней величина определяется не как скалярная, а как скалярно-аддитивная, т.е. характеризуется не только отношениями порядка, но и операцией сложения, а также связью операции сложения и отношений порядка [5].

Задачей преобразований, соответствующих порядковости величины, являются соотнесение, сопоставление объектов - построение их тождества и различия. Задачей преобразований, соответствующих аддитивной стороне величины, является изменение объектов - их увеличение и уменьшение. Требование же связи порядковости и аддитивности предполагает, что соотнесение и преобразование, которые, как правило, мыслятся отдельно друг от друга, представлены как дополнительные. И, действительно, требования к так называемому непосредственному сопоставлению объектов (совпадение их контуров) рассчитаны на то, чтобы один объект представить через изменение (или неизменность) другого. Сказать: «А > В» можно лишь в том случае, когда А представлено как увеличенное В, т.е. высказывание «А>В» уже предполагает, подразумевает, что «А=В+С». С другой стороны, всякое заданное изменение вещи требует сопоставления данного момента изменения с результатом, т.е. требует расчленения «одной линии» изменения и противопоставления (сравнения) его моментов «как будто отдельных» вещей.

Дополнительность преобразования и соотнесения выступит лишь в том случае, когда преобразование объектов (сложение) будет понято и представлено как изменение или сохранение отношений между ними (больше, меньше, равно), а не только как преобразование свойств вещей (удлинение, укорочение и т.д.); и, наоборот, отношение объектов (больше, меньше, равно) будет понято и представлено как момент их преобразования, перехода одного в другой, а не лишь как сопоставление свойств вещей (по определенным правилам). Для того чтобы это было возможно, отношение объектов (их различие) должно выступить как особый предмет, который изменяется при преобразовании этих объектов (например, та длина, на которую один отрезок отличается от другого). Этот предмет (предмет-соотношение, предмет-различие, предмет-посредник преобразуемых объектов) должен быть отделен от самих преобразуемых объектов и представлен как ориентир и мера их преобразования - увеличения и уменьшения. Например, построение из отрезка одной длины отрезка другой длины должно быть представлено как увеличение или уменьшение различия между отрезками, т.е. буквально как изменение их соотношения.

С помощью предмета-различия, представленного отдельно от различающихся или изменяющихся объектов, объективируется, выносится во вне и их отношение и преобразование одного в другой. Это особый предмет - предмет-посредник между преобразованием и соотнесением вещей. С его помощью переход вещей осмысляется, понимается как построение или изменение их соотношения, а соотношение осмысляется как момент их взаимоперехода (преобразования)1. Остается добавить, что предмет-посредник является своего рода знаком, посредством которого нечто представляется через иное.

Приведенное понимание величины требует отказа от представления о ней как о свойстве, принадлежащей вещи. Знаковость оказывается центральной характеристикой предметной формы понятия величины и поэтому должна стать центральной характеристикой того предметного действия2, с помощью которого открывается и осваивается это понятие.

Прежде чем приступать к формированию понятия величины у школьников в соответствии с указанными требованиями, необходимо выяснить, каким образом в действиях детей существует ее предметное содержание. С этой целью нами была создана серия методик, с помощью которых можно выявить, владеют ли дети опосредствованным сопоставлением вещей - выступает ли для них отношение вещей (тождество и различие) как предмет изменения, а изменение вещей как изменение их отношения. Такие методики необходимы и для того, чтобы выяснить, является ли представление о величине понятийным или «псевдопонятийным», при котором употребление слов «больше», «меньше», «равно» не соответствует их действительному значению - способу построения отношений равенства и неравенства.

Принципом построения методик было представление отношения (различия) как особого предмета, отделенного от предметов, которые вводятся в соотношение и противопоставленного им. Методическим приемом было «оборачивание» задачи сравнения предметов. В наших заданиях надо было не по данным предметам определить их разницу, а по заданной разнице представить различающиеся предметы или по изменению разницы представить изменение и соотношение предметов. В таких заданиях предмет-разница выступает не как натуральный объект, обладающий собственными характеристиками, а как вещь, отображающая и фиксирующая связь других вещей, т.е. как знак.

Исследование по всем методикам проводилось в течение одного занятия в определенной последовательности. Испытуемыми были ученики II класса экспериментальной школы № 91 Москвы3. Эксперимент проводился в сентябре - октябре 1984г.

С самого начала экспериментатор просил указать на различие предметов (карандашей). При этом он прикладывал предметы друг к другу. Если испытуемые не могли «показать разницу», то это делал сам экспериментатор, после чего повторял задание на других предметах, добиваясь фиксации различия с помощью определенного жеста (двумя пальцами показать тот отрезок, на который отличаются предметы).

После этого давалась задача 1 - поиск предмета по другому предмету и различию между предметами (искомым и данным). Материалом были бумажные полоски.

«У тебя есть полосочка. Вот она. У меня тоже есть полосочка. Но я тебе ее не покажу. Но вот эта полосочка - это разница длины твоей и моей полосочки. Найди (или вырежи) мою полосочку» (на столе лежит множество полосочек разной длины).

После «решения» задание повторялось на других полосочках.

В задаче 2 требовалось по разнице найти обе полосочки («и твою, и мою»). Задание повторялось один или два раза на других полосочках.

Задача 3. «Вот две коробочки. В них - предметы. Они волшебные: могут сами удлиняться и укорачиваться. Нельзя открывать коробочки и смотреть на предметы. Но у меня есть предмет - разница длин предметов в коробочках (резинка). И по ней я могу знать, что делается с предметами. Вот смотри... (экспериментатор растягивает резинку). Что с ней происходит? А что происходит с предметами?» После этого экспериментатор постепенно укорачивает резинку и задает те же вопросы. «А теперь совсем, совсем маленькая резинка, уже и вовсе исчезла... Что произошло с предметами? Можешь ли ты найти на столе предметы, которые сейчас могут быть в коробочках?»

Если испытуемый не мог ответить на эти вопросы, то экспериментатор спрашивал: «Если совсем нет разницы, то можешь ли ты найти на столе такие предметы? Какие это предметы, между которыми нет разницы? Могут ли быть такие?» — экспериментатор показывал длинные полоски, две очень маленькие одинаковые полоски. После ответов испытуемого задание повторялось еще раз.

В эксперименте участвовало 60 детей. Из них не справились ни с одним заданием даже после наводящих вопросов экспериментатора 13% детей, справились со всеми заданиями 17% детей. Справились только с первыми двумя заданиями 70 % детей. Из них 43% справились с ними самостоятельно, без наводящих вопросов экспериментатора, а 27% лишь после наводящих вопросов экспериментатора перешли от неверного решения к верному.

Верным способом решения первых двух задач мы считали построение предметной конструкции, в которой полоска-разница имеет функцию определения места, а через него и размера искомой полоски. Отличительным признаком верного решения является именно придание полоске такой функции, т.е. нерядоположенность ее с двумя другими полосками.

Заметим сразу, что в первом задании переход от конструкции, где искомый предмет больше данного, к конструкции, где он меньше данного (и наоборот), т.е. изменение отношения данной и искомой полоски на противоположное, было почти для всех испытуемых непосильной задачей. Эта задача не решалась без подсказки экспериментатора («А может ли мой предмет быть больше (меньше) твоего?»). Поскольку затруднение было массовым, то мы считали, что и в этом случае задание выполнено.

Испытуемые, верно решавшие первые две задачи, как правило, прикладывали разницу к одной из полосок (любой во второй задаче и заданной в первой) и либо показывали пальцами величину другой полоски, либо отыскивали нужную полоску. Мы наблюдали четыре типа неправильного решения двух первых задач.

1. Замена обратной задачи на прямую (задачи поиска предметов по разнице задачей нахождения разницы по предметам). Такая замена выражалась в том, что дети прикладывали друг к другу не одну из полосок и разницу, а две полоски. Когда экспериментатор спрашивал их о том, где же искомая полоска, дети путались, а иногда указывали на полоску-разницу. В лучшем случае дети сначала подбирали полоски, а потом к ним приставляли полоску-разницу. При этом они путем подбора могли и верно найти требуемую полоску. Однако же для нас важно, что заданные экспериментатором условия подменялись другими. Сама же подмена говорит о том, что ребенку легче непосредственно сравнивать объекты. Предмет-разница не является для детей средством, организующим сравнение. Этот предмет рядоположен с другими предметами, не противопоставлен им.

Рис.1. Заштрихована данная и искомая полоски. Не заштрихована полоска-разница.

2. Непосредственное сравнение искомой полоски с разницей. Этот способ является более грубой ошибкой, чем оборачивание задачи. После того как построена конструкция из одной полоски и полоски-разницы, ребенок прикладывает искомый предмет непосредственно к полоске-разнице, сравнивает его с ней, а не с разностью или суммой ее и данного предмета (рис.1а). В другом случае (рис.1б) разница прикладывается к уже готовой конструкции из обеих полосок. В таких «нелепых» конструкциях явно видно неопосредствованность решения задачи. Разница выступает не как опредмеченное отношение вещей, а как вещь в ряду других вещей, отличающаяся от них по определенному свойству (длине).
3. Бессмысленные конструкции из полосок. Непонимание детьми различия как отношения отчетливо выступало тогда, когда они вовсе не могли объединить полоску-разницу с двумя другими полосками, например, выкладывая конструкцию, изображенную на рис.1в. В другом случае экспериментатор повторял задание, акцентируя то, что одна из полосок - разница между данной и искомой (он это делал потому, что ребенок все время путал данную полоску и разницу). После этого испытуемый выложил полоску-разницу буквально между двумя другими полоска ми (рис.1а).
4. Неосмысленное использование знаний. Чаще всего это проявлялось в том, что дети употребляли полоску-разницу как мерку4, которую они откладывали на одной из полосок. В других случаях дети считали клеточки на полосках, причем, как правило, не те, которые целесообразно было считать.

Натуральное понимание различия проявилось при переходе от первой задачи ко второй. Например, некоторые дети заявляли, что эту задачу решить нельзя, так как для решения нужно, чтобы был дан хоть один предмет.

После выполнения второго задания экспериментатор обычно спрашивал, могут ли быть другие полоски при той же разнице между ними; например, очень длинные при небольшой длине полоски-разницы. Некоторые испытуемые отвечали, что очень длинные полоски быть не могут. Эти факты свидетельствуют о том, что отношение вещей еще не отделено от свойств самих вещей, не существует для детей вне этих свойств.

При выполнении четвертого задания наблюдались два типа неверных ответов. В первом случае дети говорили, что при увеличении разницы увеличиваются и предметы в коробочках, при уменьшении - уменьшаются. При исчезновении же разницы и предметы исчезают. Если экспериментатор просил отыскать на столе предметы, которые могут быть в коробке, когда разница совсем мала, испытуемые отыскивали самые маленькие, но не обязательно равные кусочки бумаги. Тогда экспериментатор спрашивал, что же это за предметы, между которыми почти или вовсе нет разницы. Испытуемые правильно отвечали, что это одинаковые, равные предметы. Однако при повторении задания ошибки повторялись. При втором варианте ответов дети говорили, что с уменьшением разницы предметы увеличиваются, с увеличением - уменьшаются. На вопрос об исчезновении разницы некоторые дети отвечали, что предметы в коробочках станут совсем большими. Экспериментатор добивался, чтобы дети поняли, что исчезновение разницы обозначает уравнивание предметов. Однако и в этом случае при повторении задания повторялись и ошибки детей.

Неверное выполнение этого задания также свидетельствует о том, что для детей разница не отделена от самих предметов, немыслима вне них. Изменение вещей и изменение их различия слито в мышлении детей. Именно поэтому дети не могут представить и, главное, сопоставить противоположно направленные изменения двух вещей. Изменение разницы является ориентиром и посредником именно такого сопоставления.

Результаты проведенных экспериментов показывают, что знаковое отношение, задающее дополнительность сравнения и преобразования, не формируется у детей спонтанно. Оно должно быть объектом специального, целенаправленного формирования. Дополнительность соотнесения вещей и их преобразования является центральной характеристикой понятия величины, но именно она деформируется в действиях детей. За соотнесением они не видят преобразования, а за преобразованием - соотнесения.

1. Давыдов В В. Виды обобщения в обучении. М., 1972. - 423с.
2. Давыдов В.В. Логико-психологические проблемы начальной математики как учебного предмета // Возрастные возможности усвоения знаний. М., 1966. С.54-104
3. Давыдов В.В., Варданян А.У. Учебная деятельность и моделирование. Ереван, 1981. - 219с.
4. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., 1963. - 571с.
5. Колмогоров А.Н. Величина // БСЭ. 2-е изд. Т.7. М. С.340-341
6. Смирнов Г.А. Основы формальной теории целостности (ч. 1) // Системные исследования. Ежегодник 1979. М., 1980. С.91-127
7. Смирнов Г.А. Основы формальной теории целостности (ч. 2) // Системные исследования. Ежегодник 1980. М., 1981. С.255-283
8. Эльконин Б.Д. Знак как предметное действие // Эргономика. 1984. №27. С.23-31

Поступила в редакцию 23.III 1985г.   

1 Представление о том, что взаимопереход и построенное на его основе отношение является основным определением математического объекта, развивает Г.А. Смирнов [6], [7].
2 Автор настоящей работы считает, что знак является центральной характеристикой развернутого предметного действия [8].
3 Выбор учеников именно этой школы не случаен. По программе математики они проходят специальный раздел, связанный с представлением о «разнице» предметов. Однако же в этом разделе не акцентируется знаковый характер «разницы». Построение такого «акцента» экспериментальной программы - задача нашего формирующего эксперимента.
4 По экспериментальной программе натуральное число вводится через измерение как кратное отношение изменяемого объекта к мерке. Этот раздел проходят в начале второго полугодия I класса.