Экспериментальные психолого-педагогические исследования в настоящее время проводятся двумя способами. В рамках первого способа (констатирующего) определение реального состояния и особенностей психических явлений у детей, а также закономерностей усвоения ими знаний проходит в условиях той системы обучения, которая сложилась к моменту проведения экспериментального исследования. Это условие проведения исследовательской работы заставляет считать сложившуюся систему обучения единственно возможной. В рамках второго способа (экспериментально-генетического) сложившаяся система обучения рассматривается лишь как одна из множества возможных. Иными словами, при экспериментально-генетическом способе признается необходимость изменения системы обучения с целью использования ее в качестве экспериментального средства формирования у детей определенных психических процессов.

Экспериментально-генетический способ, позволяющий исследовать условия возникновения того или иного психического явления и моделировать характер его становления, введенный в практику Л.С. Выготским и его сотрудниками, получил дальнейшее развитие в работах лаборатории психологии детей младшего школьного возраста НИИ общей и педагогической психологии АПН СССР ([1], [4], [8] и др.). Специфика его современной реализации состоит в том, что закономерности становления психических явлений изучаются путем создания экспериментальных учебных программ и организации процесса обучения по этим программам. Такой подход делает возможным изучение учебной деятельности школьников не в ходе овладения ими отдельными элементами знания, а в процессе усвоения некоторой области знания, что позволяет изучать проблемы зависимости умственного развития от способов развертывания системы понятий, а также за счет многолетнего наблюдения выявлять общие тенденции умственного развития детей и появления возрастных новообразований.

Таким образом, в экспериментально-генетическом исследовании учебная программа выступает в качестве некоторого специфического «прибора» изучения психики ребенка. Но чтобы этот аппарат использовать в эксперименте, его надо предварительно построить - т.е. определение содержания и структуры учебной программы выступает в качестве самостоятельной задачи в экспериментально-генетическом исследовании.

Методологические и теоретические проблемы построения подобных программ весьма подробно и обстоятельно рассмотрены в работах В.В. Давыдова ([3], [5]). Имеются также и работы, в которых с той или иной степенью полноты описан процесс реального конструирования экспериментальных программ. Наиболее полной и последовательно такой процесс описан в монографии А.К. Марковой [8]. Ознакомление с этими работами может в значительной степени облегчить усилия любого исследователя, ставшего на путь использования экспериментально-генетического, метода в педагогической психологии.

Однако при всем этом мы не можем не отметить того, что и при детальном анализе общих способов решения конкретно-практических задач и связанных с ними научных понятий и законов вопрос об однозначной последовательности учебных задач в структуре учебной деятельности решен быть не может. Многообразие связей между научными понятиями (и вытекающее из этого многообразие связей между учебными задачами и необходимыми для их решения учебными действиями) дает определенную свободу исследователю в выборе структуры учебной программы: однозначное определение круга научных понятий и законов и связанных с ними общих способов решения задач позволяет построить некоторое множество учебных программ.

Как выбрать из этого множества наилучшую программу? В настоящее время такой выбор может быть осуществлен только путем экспериментального обучения учащихся по разным программам с последующей оценкой качества обучения. Однако трудоемкость и длительность реализации такого выбора приводят к тому, что на практике на основе интуиции самого составителя программы выбирается и реализуется только одна структура, которая может оказаться и не самой лучшей.

Практика современных исследований и конструирования сложных систем предлагает способ, который может существенным образом облегчить исследователям выбор наилучшей структуры экспериментальной программы. Этим способом является имитационное моделирование - процесс конструирования модели реальной системы и постановка экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы [12].

Имитационная модель - в нашем случае процесса обучения - позволит исследовать всевозможные последовательности изложения (структуры учебных программ) еще до экспериментального обучения по ним учащихся. Предлагая различные структуры учебных программ, исследователь может проводить с их помощью «обучение» модели и по результатам таких модельных экспериментов давать предварительную оценку различных вариантов изложения. При этом: а) не требуется подготовки экспериментальных материалов (пробных учебников, методических пособий для учителей и пр.), б) можно рассматривать самые неожиданные (с точки зрения предшествующей практики и здравого смысла) последовательности изложения, не опасаясь при этом повредить учащимся и затруднить их последующую учебу, в) можно рассмотреть значительное количество вариантов структуры изложения в весьма непродолжительные сроки.

Естественно, что все ограничения, которые делаются при построении имитационной модели, не позволяют рассматривать результаты модельных экспериментов в качестве окончательных. Только на их основе не может быть отвергнута ни одна учебная программа. Такие эксперименты необходимо рассматривать в качестве одного из средств, позволяющих исследователю сократить множество рассматриваемых вариантов (путем отбрасывания логически противоречивых), пояснить самому исследователю отдельные трудности или сомнительные части структуры программы и др. Окончательное же решение всегда остается за человеком, осуществляющим содержательный анализ всех имеющихся данных.

Любая имитационная модель представляет собой комбинацию таких составляющих, как а) компоненты, б) переменные, в) параметры, г) функциональные зависимости, д) ограничения, е) целевые функции.

Под компонентами понимаются составные части, которые при соответствующем объединении образуют целостную систему. Так, применительно к процессу обучения в качестве компонентов могут выступать материал обучения, ученик и обучающий (носитель методов и организационных форм обучения).

Под переменными понимаются такие величины, которые объективно характеризуют включенные в целостную модель компоненты. В рамках модели обучения такими переменными могут выступать: а) полное время обучения (время, затрачиваемое на изучение всей учебной программы), б) порядок изучения отдельных «единиц» учебной программы (т.е. последовательность формирования отдельных научных понятий), в) время активного пользования изученным материалом («прочность» запоминания) и др.

В отличие от переменных, параметры суть такие величины, которые (хотя они также характеризуют отдельные компоненты) могут выбираться в определенной степени произвольно в зависимости от желания исследователя (или от его гипотетических представлений). Применительно к рассматриваемому нами случаю в качестве параметров могут выступать численные значения, характеризующие материал обучения или методы его усвоения учеником.

Функциональные зависимости описывают поведение переменных и параметров в пределах одного компонента модели или выражают соотношения между различными компонентами. Так, в модели обучения в качестве функциональных зависимостей могут выступать соотношения между порядком изучения учебного материала и временем его активного пользования, между порядком изучения учебного материала и полным временем обучения, между полным временем обучения и используемыми методами обучения и пр.

Ограничения представляют собой устанавливаемые пределы изменения значений переменных или ограничивающие условия, накладываемые на взаимодействие компонентов модели. Например, если мы постулируем, что повторение должно идти сразу за первоначальным обучением (т.е. выступать в функции «закрепления», а не «восстановления» в памяти ранее изученного), что в определенный промежуток времени не может идти одновременное изучение двух разных «единиц» учебной программы, что изучение некоторой «единицы» учебной программы возможно лишь после того, как изучены все другие, логически ей предшествующие, - то все это есть ограничения соответствующей модели процесса обучения.

Целевая функция (или, как часто говорят, функция критерия) - это точное отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения. Она является органической составной частью модели, и весь процесс манипулирования с моделью направлен на оптимизацию или удовлетворение заданного критерия. В нашем случае в качестве целевой функции может выступать логически непротиворечивая последовательность изложения учебного материала, минимизация полного времени обучения и пр.

Рассмотрим теперь в качестве примера имитационную модель процесса обучения в рамках предметов естественнонаучного цикла, построенную как с учетом анализа предшествующих исследований ([9], [10], [11], [13] и др.), так и требований экспериментально-генетических исследований, опирающихся на концепцию учебной деятельности ([1], [2], [4], [8] и др.) [1].

В рамках данной модели процесс обучения представляется в качестве трехэлементной структуры: материала обучения, ученика и обучающего.

Материал обучения рассматривается как дискретная совокупность некоторых элементов, которые в дальнейшем, для простоты будем называть «элементами изложения». Содержательно в качестве таких элементов выступают отдельные учебные задачи, общее число которых считается заданным (как и цель обучения). Все учебные задачи, в зависимости от того, связаны ли они с идеальными объектами соответствующей научной области, параметрами состояний этих объектов или соотношениями между этими параметрами, разбиты на три непересекающихся подмножества. Кроме того, учебные задачи структурированы по их связям друг с другом. Описание всех связей вводится заданием графа учебного материала (рис.1).

Рис. 1

Обучающий представлен как источник обучающих воздействий, который реализует некоторый способ подачи для каждого элемента изложения. В содержательном описании модели он (обучающий) представлен в виде множества способов организации решения учебной задачи, каждый из которых отнесен к соответствующему элементу изложения. Считается также (в соответствии с концепцией учебной деятельности), что контроль усвоения включен в способ изложения как его непременная составная часть.

Последовательность, каждый элемент которой представляет собой пару, состоящую из элемента изложения и соответствующего ему способа изложения, назовем «обучающей последовательностью» (ОП). Содержательно каждая логически возможная ОП может интерпретироваться как один из возможных вариантов учебной программы.

В результате актуализации каждого элемента ОП обучаемый либо усваивает соответствующий учебный материал, либо нет. Если потребовать, чтобы способ изложения обеспечивал усвоение соответствующего материала учеником, если ему известен весь предшествующий, логически связанный с данным материал, то мы получим, что результат обучения зависит лишь от структуры ОП (т.е. последовательности вхождения в нее элементов изложения). Те ОП, при реализации которых достигается цель обучения, будем называть допустимыми.

Но не все допустимые ОП одинаково хороши. Ведь известно, что при различных порядках изложения обучение идет разными темпами. Необходимо также учитывать возможность забывания учениками ранее изученного материала, а также целесообразность его повторения. В первом приближении все эти процессы можно характеризовать соответствующими временными параметрами, отнесенными как к отдельным элементам изложения, так и к некоторым их структурам.

Наличие временных характеристик элементов изложения и требование фиксированного качества усвоения учебного материала предопределяют выбор критерия эффективности, по которому могут быть сравнены между собою различные Допустимые ОП. Таким критерием является суммарное время, необходимое для реализации ОП. Та ОП, время реализации которой минимально, будет считаться оптимальной.

При описанном выше представлении материала обучения и обучающего ученик достаточно удобно описывается в виде системы правил, с помощью которых можно поэлементно оценивать допустимость и эффективность любой произвольно заданной ОП.

Полный список указанных правил совместно с описанием материала обучения и обучающего задает модель процесса обучения, которую можно использовать при исследовании структуры учебных программ предметов естественнонаучного цикла.

1. Пусть задан граф учебного материала, являющийся графом строгого частичного упорядочения, все вершины которого разнесены по трем уровням. Вершины первого уровня - базовые для вершин второго и третьего уровней. Вершины второго уровня - базовые для вершин третьего уровня и обобщающие для вершин первого уровня. Вершины третьего уровня - обобщающие для вершин первого и второго уровней [2].
2. Если некоторая вершина a_i имеет входящие ребра, то она может быть введена лишь после того, как будут введены все вершины, соединенные с нею этими ребрами.
3. Вводить одновременно более одной вершины нельзя.
4. Для введения всякой вершины а_i требуется затратить некоторое время t_i (время введения).
5. По истечении промежутка времени τ_i с момента окончания введения вершины a_i ее нельзя рассматривать как введенную для последующих построений. Промежуток времени τ_i называется временем активного пользования вершиной а_i
6. Повторное введение любой вершины a_i требует времени t_ni (время повторения).
7. В результате повторного введения вершины a_i время ее активного пользования возрастает по следующему закону:
   
   

   где τ_Δi – время активного пользования, которое имела вершина а_i к моменту повторного введения.

8. Все повторения если они необходимы, осуществляются сразу после первоначального введения («по свежим следам»).
9. При введении обобщения время активного пользования всех базовых для данного обобщения вершин возрастает на величину времени активного пользования вводимого обобщения (принцип повторения путем активного использования ранее изученного при прохождении нового учебного материала).
10. В зависимости от структуры ОП время введения обобщения может возрасти и составить величину.

при P_j = 0 и R_j = 0 величина дробей и принимается равной нулю. Полученная надбавка ко времени введения вершины a_i называется временем консерватизма и связана с включением элементов знаний одних структур в другие структуры.

На основе этого описания легко построить программу для ЭВМ, которая будет моделировать ход процесса обучения. Блок-схема такой программы представлена на рис.2.

Рис. 2

Если число элементов ОП невелико, то все операции, предусмотренные в описании имитационной модели, легко проделать вручную. Для иллюстрации функционирования модели рассмотрим процедуру модельного эксперимента для достаточно простого графа материала обучения.

Пусть требуется составить программу для некоторого предмета, включающую пять учебных задач, связи которых заданы графом, представленным на рис.3.

Рис. 3

Прежде чем составлять такую программу, автор задает временные параметры для каждого элемента изложения (время введения, время активного пользования, время повторения). Эти параметры, заданные в условных временных единицах, сводятся в таблицу, которую мы будем называть «матрицей времен» (МБР). Пусть для нашего примера МБР имеет вид, представленный в табл.1.

Для того чтобы фиксировать состояния памяти модели в процессе введения отдельных элементов ОП, составим таблицу, каждая строка которой будет отражать текущие значения времен активного пользования для каждого элемента изложения. Назовем эту таблицу «матрицей состояния памяти» (МСП). Ее вид представлен в табл.2.

Число и буква П в скобках после номера элемента изложения указывает количество повторений, которое необходимо провести после введения данного элемента.

Анализ ОП на имитационной модели, как это следует из блок-схемы на рис. 2, состоит в последовательном рассмотрении входящих в ОП элементов, определении допустимости их введения и (если таковое допустимо) изменении состояния памяти модели. В результате модельного эксперимента (анализа ОП) мы получаем ответ, является ли предлагаемая ОП допустимой и сколько единиц времени требуется на ее реализацию.

Заполним после этого первую строку матрицы МСП (табл.2), Она отражает состояние памяти модели после первого шага обучения - введения элемента а₁.

После введения а₂ текущее значение времени активного пользования для а₁ уменьшится на величину t_Σ2 и состояние памяти модели после второго шага обучения будет выражено второй строкой МСП (табл.2).

Элементы а_i и а₂ являются базовыми для а₄. Поэтому τ_тек, для них возрастает на величину τ₄ (согласно пункту 9 формализованного описания модели). Состояние памяти модели после третьего шага обучения будет отражено третьей строкой матрицы МСП (табл.2).

Для всех ранее введенных элементов значение текущего времени активного пользования уменьшится на две единицы. Состояние памяти модели после этого четвертого шага примет вид, указанный в четвертой строке матрицы (табл. 2),

Последним вводится элемент a_5. Все его базовые элементы введены, так что и его введение возможно. Но базовые элементы а₁ и а₂ уже использовались при введении обобщения а₄. Поэтому время введения а₅ увеличивается за счет времени консерватизма и составляет (при Т=1)

Значение текущего времени активного пользования для элементов а₁, а₂ и а₃ возрастает на τ₅, а для а₄ уменьшится на 11 ед. Состояние памяти модели изобразится пятой строкой МСГТ (табл.2).

Модельный эксперимент закончен. Все элементы введены, и для всех τ_тек, больше нуля. Полное время, необходимое на реализацию данной ОП, составит

Приведенная на табл.2 МСП дает полную картину динамики изменения состояний памяти модели и может послужить полезным материалом для отыскания более удачной структуры ОП.

Проанализированная ОП далеко не единственная для, данного материала обучения. Структура графа на рис. 3 позволяет построить восемь структурно допустимых ОП, а за счет различных комбинаций повторений число допустимых ОП может быть сделано сколь угодно большим.

После введения элемента а₃ МСП будет иметь вид, представленный на табл.3. Введение следующего элемента, как видно из МСП, невозможно, так как хотя элемент а₁ и вводился, но время активного пользования для него истекло и его нельзя использовать при введении обобщения а₄.

Таким образом, модельный эксперимент показывает, что использовать такую программу для обучения учащихся нельзя, так как цель обучения достигнута не будет. Анализируемая ОП должна быть отброшена как недопустимая.

Как бы, ни был опытен составитель программы, он не может гарантировать, что выбранная им структура учебной программы является наилучшей. Если же число учебных задач, из которых должна состоять учебная программа, достаточно велико, то положиться целиком и полностью на описанные только что эксперименты нельзя — их число может оказаться также достаточно большим. Это заставляет искать средства, позволяющие строить оптимальные программы автоматически.

Описанная в данной публикации модель процесса обучения позволяет сформулировать задачу автоматического синтеза оптимальных обучающих последовательностей (ОП).

В рамках, принятых при построении модели ограничений, оптимальной будет та ОП, время реализации которой минимально [3]. Для построения схемы синтеза таких ОП можно воспользоваться тем, что множество оптимальных ОП должно лежать внутри множества допустимых ОП. Допустимой же является последовательность, одновременно удовлетворяющая двум условиям: по своей компоновке она соответствует всем особенностям графа материала обучения (т.е. является структурно допустимой), обеспечивает в процессе обучения удержание в памяти модели всех элементов изложения (т.е. ни для одной из учебных задач текущее время активного пользования во время обучения не может стать равным нулю).

Множество структурно допустимых ОП целиком определяется заданием графа структурных связей между учебными задачами. Путем введения соответствующего количества повторений для элементов изложения каждую структурно допустимую ОП можно превратить в допустимую. И теперь необходимо рассмотреть затраты времени, из которых складывается полное время реализации допустимой ОП. Сюда относятся: а) чистое время на первичное введение каждого элемента (t_i), б) время на повторное введение некоторых элементов изложения (t_пi),в) дополнительное время на введение обобщающих элементов, связанное с консерватизмом базовых элементов 

По компонентам пункта «а» никакие две ОП: различаться не могут (ввиду одинаковости числа учебных задач). Они могут отличаться как за счет времени повторного введения элементов, так и за счет консерватизма базовых элементов. Но затраты, связанные с консерватизмом, зависят только от последовательности введения элементов, т.е. определяются самой структурой ОП. А вот затраты, связанные с повторным введением элементов, можно минимизировать.

Такая минимизация может осуществляться за счет ограничения, зафиксированного в пункте 9 формализованного описания модели: пока текущее время активного пользования обобщающего элемента больше нуля, время активного пользования его базовых элементов также больше нуля. Отсюда следует, что время активного пользования каждым базовым элементом необходимо за счет повторного введения увеличить лишь на столько, на сколько это необходимо до начала введения первого связанного с ним обобщающего элемента.

Если обозначить через t₀ промежуток времени между окончанием введения некоторого базового элемента и началом введения первого связанного с ним обобщения, то минимальное количество повторных введений базового элемента может быть определено по формуле

где h — число повторений (округление h до целого всегда производится с избытком).

Таким образом, общее число повторений любого элемента определяется следующим образом:

Используя это выражение, можно каждой структурно допустимой ОП поставить в соответствие допустимую ОП с минимальным числом повторений. Сравнивая потом эти допустимые ОП, можно выбрать такую, общее время реализации которой минимально. Алгоритм такого способа построения оптимальной ОП представлен в виде схемы на рис.4.

Рис.4

Для пояснения работы такого алгоритма рассмотрим на простом примере процедуру нахождения оптимальной ОП. Воспользуемся для этого тем же материалом обучения, который фигурировал в предшествующем примере. Сделаем для упрощения только одно дополнение: пусть элемент 34 связан с элементом a₅ (рис.5), а МВР остается прежней (см. табл.1).

Рис.5

В соответствии с общей схемой рассмотрим в первую очередь процесс синтеза всех структурно-допустимых ОП. В его основе лежит способ отбрасывания свободных вершин.

Из структуры графа на рис. 6 видно, что последним может быть введен элемент a₅, соответствующая ему вершина графа имеет только входящие ребра. Если теперь мы исключим эту вершину с инцидентными ей ребрами, то в новой графе окажутся две вершины — а₃ и а₄, не имеющие выходящих ребер. Это означает, что любой из элементов, соответствующих этим вершинам, может быть, с точки зрения структурной допустимости, введен перед a₅.

Для того чтобы фиксировать все структурно допустимые ОП, удобно построить их дерево. Этапы построения дерева в рамках рассматриваемого примера изображены на рис.6.

Первый шаг - отыскание корня дерева. Им является элемент a₅ (рис.6, а). Второй шаг — определение выходящих из этого корня ветвей (рис.6, б). На третьем шаге можно определить те элементы, которые могут быть введены перед а₃ и а₄ (рис.6. в). Систематическое проведение такой процедуры приводит к построению полного дерева структурно допустимых ОП (рис.6, г). Каждая ветвь дерева представляет собой одну структурно допустимую ОП. Всего их для данного материала обучения пять:

Рассмотрим теперь процедуру определения для каждой структурно допустимой ОП такой допустимой ОП, которая содержит минимальное число повторных введений входящих в нее элементов. Для этого выпишем первую из перечисленных структурно допустимых ОП в первый

Рис. 6

столбец таблицы (табл.4), В столбце втором записывается число повторных введений, в столбце третьем - полное время введения элемента. Строка в нижней части таблицы оставлена для фиксации полного времени реализации ОП.

Число необходимых повторений и полное время введения элемента определяются, начиная с последнего по порядку элемента.

Элемент a₅ вводится последним, а значит повторений не требует (h=0). Полное же время введения требует учета консерватизма базовых элементов a₁ и а₂, которые ранее использовались при введении обобщения а₄:

Вносим полученные результаты в таблицу и переходим к предшествующему элементу а₄. Время активного пользования этим элементом больше времени введения элемента а₅ (см. табл.1), следовательно, его не надо повторно вводить, так как к окончанию введения элемента a₅ текущее время активного пользования элементом а₄ будет больше нуля (h = 0). И так как при расчете времени введения элемента а₄ не надо учитывать консерватизма базовых элементов (a₁ и а₂), то полное время введения составит

После внесения этих данных в таблицу переходим к элементу а₁. Он вводится непосредственно перед обобщением а₄, а поэтому повторений не требует (h = 0). Полное время введения

Рассмотрим элемент а₃. Для него обобщением является элемент а₅, который вводится последним. Между окончанием введения а₃ и началом введения а₅ проводится введение элементов а₁ и а₄, т.е. для элемента а₃ величина t₀ равна 11 ед. И так как время активного пользования элементом а₃ равно 4 ед., то для него необходимы повторные введения, увеличивающие время активного пользования. Число необходимых повторных введений составит

Самым первым вводится элемент а₂ который не должен быть забыт до начала введения элемента а₄. Так как между введением а₂ и а₄ осуществляется введение элементов а₁ и а₃, то для задачи а₂ время t₀ составит 7 ед. Повторное введение этого элемента не нужно, так как время его активного пользования равно 10 ед. Время полного введения этого элемента

После того как все полученные данные внесены в табл.4, определяется полное время реализации ОП. Точно такая же процедура проводится и для остальных четырех ОП. В результате получается таблица (см. табл.5).

Из сопоставления всех ОП по времени реализации заключаем, что только две из них не содержат ни одного повторного введения и дают минимальное время реализации. Эти ОП и являются оптимальными для данного материала обучения и выбранного соотношения временных, характеристик.

Описанные в данной работе процедуры являются достаточно трудоемкими и не могут быть выполнены вручную при достаточно большом объеме материала обучения. В связи с этим по приведенным здесь алгоритмам были написаны программы для ЭВМ, которые позволяют автоматизировать как анализ экспертно составленных ОП, так и синтез оптимальных ОП [4].

1. Айдарова Л.И. Возможности ребенка и школьная, грамматика.— Начальная школа, 1964, №10.
2. Давыдов В.В. Психологическая характеристика учебной задачи. — В сб.: Вопросы психологии обучения и воспитания. Киев, 1961.
3. Давыдов В.В. Связь теорий обобщения с программированием обучения. — В сб.: Исследования мышления в советской психологии. М., 1966, с.437-469
4. Давыдов В.В. Условия влияния обучения на умственное развитие школьников: Материалы III Всесоюзного съезда Общества психологов. — Киев, 1968, т.2.
5. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. — М., 1972. — 422с.
6. Логвинов И.И. О логике науки и учебного предмета. — В сб.: Технические средства обучения и программированное обучение. Материалы IV городской научно-методической конференции. Челябинск, 1969, вып.2, с.104-143
7. Логвинов И.И., Уваров А.Ю. О построении оптимальных обучающих последовательностей. — В сб.: Проблемы совершенствования методов дидактических исследований. М., 1971, с.41-145
8. Маркова А.К. Психология усвоения языка как средства общения. — М.,1974.
9. Моргунов И.Б. Аналитические методы исследования учебных программ: Канд. дис. — М., 1965.
10. Овчинников А.А., Пугинский В.С. Применение метода логических диаграмм в планировании и организации учебного процесса, — Известия АН СССР, серия «Техническая кибернетика», 1964, №3.
11. Черкасов Б.П. Совершенствование учебных планов и программ на базе сетевого планирования. — М., 1975. - 78с.
12. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука / Пер. с англ., — М., 1978. - 418с.
13. Sayeki P. Network Analvsis oi Teaching —The Science of Learning, 1966, vol.2, №1.

[1] Подробный анализ предшествующих работ и общая постановка задачи моделирования процесса обучения описана в работах [6], [7].
[2] В данном контексте термин «обобщение» не несет той психологической нагрузки, которая обычно с ним связывается, а означает лишь включенность материала одних учебных задач в другие, качественно отличные от первых.
[3] Если для учебного материала допустима только одна ОП, то она и будет оптимальной; если для материала есть несколько допустимых ОП, время введения которых равно и минимально, то все они будут оптимальными.
[4] Полное описание программ и их текст приведены в работе ([7]).